Muestreo de aceptación: qué significan n y c

Qué decide el muestreo de aceptación

El muestreo de aceptación usa una muestra para decidir sobre el lote al que pertenece. En un plan simple por atributos, cada unidad se clasifica según un criterio y el número de unidades defectuosas se compara con la regla del plan. El resultado permite aceptar o rechazar ese lote conforme al plan aplicado; no estima por sí solo la calidad del proceso que lo fabricó.

NIST/SEMATECH distingue la disposición de un lote de la estimación de la calidad de una población. NIST/SEMATECH, §6.2.1.

Hay dos piezas que conviene separar al leer una ficha. La especificación o criterio de inspección define qué cuenta como defecto. El plan define cuántas unidades se examinan y cómo usar el conteo para decidir. Si el criterio está ausente, la cifra final puede parecer precisa y aun así no ser comparable entre inspectores: uno puede clasificar una marca como incumplimiento y otro no.

Qué significan n y c

NIST escribe un plan simple por atributos como (n, c). n es la cantidad de unidades que se inspecciona; c es el número de aceptación, es decir, el máximo de unidades defectuosas observado en la muestra que permite aceptar el lote. Con un conteo observado x, la regla se expresa como aceptar si x ≤ c y rechazar si x > c.

La unidad del conteo debe estar definida: una unidad defectuosa no equivale necesariamente a cada defecto individual que presente. NIST/SEMATECH, §§6.2.1 y 6.2.3 NIST/SEMATECH, §6.2.3.

Por ejemplo, si una pieza tiene dos marcas fuera de la especificación, el conteo de unidades defectuosas puede ser uno, mientras que el registro de defectos contiene dos observaciones. No se debe comparar ese total de marcas con c si el plan cuenta unidades.

NIST trata la diferencia entre unidades defectuosas y defectos individuales en su material de gráficos de control por atributos; ese pasaje ayuda a entender la unidad de conteo, pero no añade una regla a los planes de aceptación. NIST/SEMATECH, §6.3.3.1.

El caso que se usa más abajo mantiene n = 52 y cambia únicamente c. Así se ve qué significa mover el límite de aceptación sin cambiar el lote supuesto ni el tamaño de muestra. No se trata de elegir uno de esos valores para una compra; son comparaciones aritméticas para leer la función del parámetro.

La muestra debe corresponder al lote

La probabilidad calculada para un plan depende de la población de la que se extrae la muestra y del método de selección. NIST describe el muestreo aleatorio como parte del modelo de aceptación. Si las 52 unidades se eligen solo de la caja más accesible, ese acto no representa automáticamente una muestra aleatoria de todas las unidades del lote. NIST/SEMATECH, §§6.2.1 y 6.2.4.3 NIST/SEMATECH, §6.2.4.3.

Para interpretar un resultado hay que poder vincular las unidades inspeccionadas con el lote declarado y saber cómo se formó la muestra según el plan aplicable. Si una entrega consta de varios lotes, sumar resultados o dividirlos después de conocer el conteo cambia la población a la que se refiere el cálculo. La página no prescribe una técnica de extracción ni reparte unidades entre cajas; el método debe provenir del plan o procedimiento que rige esa inspección.

El registro sirve para hacer visible qué lote y qué muestra se examinaron, no para convertir una selección de conveniencia en una selección aleatoria.

El tamaño de la muestra también tiene significado propio. En el ejemplo, 52 se toma de un lote hipotético de 200, por lo que representa el 26 % de esas unidades. n no es el tamaño del lote, ni el número de defectos observados, ni una fracción de conformidad. Si la muestra se extrae sin reposición, cada unidad seleccionada deja de estar disponible para las extracciones siguientes; esto importa al calcular probabilidades en una población finita.

Resultado observado y probabilidad de aceptación

x es el número de unidades defectuosas encontradas en la muestra observada. El resultado del lote se obtiene comparando ese número con c. En cambio, Pa representa la probabilidad de que el plan acepte bajo un modelo y unas condiciones de calidad supuestas. Es una probabilidad previa al resultado de una muestra concreta, no la proporción defectuosa observada ni una probabilidad inversa calculada después de leer «aceptado».

NIST representa esa relación con la curva característica de operación, u OC: muestra cómo varía la probabilidad de aceptación según la fracción defectuosa que se suponga para el lote, manteniendo fijo el plan y las condiciones del modelo. Su ejemplo de n = 52, c = 3 usa un lote grande y un modelo binomial.

Es útil para ver que una pareja (n,c) no tiene una única probabilidad de aceptación independiente de la calidad asumida; los números de esa curva corresponden a ese ejemplo y no predicen una entrega específica. NIST/SEMATECH, §6.2.4.3.

Por eso, una misma muestra puede dar una decisión clara mientras la probabilidad de aceptación del plan sigue dependiendo de lo que se suponga sobre el lote. Una vez observada la muestra, x determina si se cumple x ≤ c; antes de observarla, Pa resume qué proporción de muestras posibles aceptaría el plan bajo el escenario supuesto.

Confundir ambos momentos lleva a dos errores: tratar el supuesto de defectuosas de un modelo como si fuese el conteo de la entrega, o interpretar un resultado aceptado como prueba de que el lote contiene una fracción defectuosa determinada.

La curva OC tampoco es una garantía de que un plan se comporte igual con cualquier tamaño de lote o método de selección. Los puntos de NIST se derivan bajo las condiciones publicadas para su ejemplo. Cuando el lote tiene un tamaño finito y se extrae sin reposición, la probabilidad se calcula con una distribución hipergeométrica; el tamaño total y el número supuesto de defectuosas pasan a formar parte del cálculo.

El resultado que sigue usa esa formulación y cifras propias, no una tabla publicada por NIST. NIST DataPlot Reference Manual, “HYPCDF”, pp. 8-119–8-120.

Un lote hipotético para comparar n y c

Supongamos, solo para entender los parámetros, un lote finito de M = 200 unidades y una muestra aleatoria de n = 52 sin reposición. No conocemos el estado de un lote real. Se comparan dos estados alternativos del mismo lote hipotético: que tenga D = 6 unidades defectuosas, o que tenga D = 18. Son supuestos para calcular la curva del plan, no resultados de recepción.

Para cada supuesto se calcula la probabilidad de que el conteo observado x no supere distintos valores de c.

Con extracción sin reposición, Pa suma las probabilidades de todos los conteos aceptables: P(x ≤ c) = Σ[x=0..c] C(D,x)·C(M−D,n−x)/C(M,n). El primer término cuenta formas de seleccionar defectuosas; el segundo, formas de completar la muestra con unidades no defectuosas; el denominador cuenta todas las muestras posibles de tamaño n. Esta es una aplicación de la distribución hipergeométrica descrita por NIST DataPlot. NIST DataPlot Reference Manual, “HYPCDF”, pp. 8-119–8-120.

Todos los números de la tabla son cálculos de autor a partir de la suma hipergeométrica y de los supuestos impresos. Las fracciones de referencia son 6/200 = 3 % y 18/200 = 9 %; el mismo n se compara en ambas filas. NIST aporta la función de distribución, no estos valores. La tabla tampoco afirma que haya un lote con seis o dieciocho defectuosas ni que una de esas fracciones sea aceptable o inaceptable para un producto.

No confundas D/200 con la proporción observada en la muestra, que sería x/52.

La comparación de columnas muestra el efecto de c. Si el conteo observado es tres, un plan con c=2 rechaza; con c=3 o c=4, acepta. Si el conteo es cuatro, c=2 y c=3 rechazan, mientras c=4 acepta. Es el mismo resultado x leído con distintos límites; cambiar c no modifica cuántas unidades se inspeccionaron ni lo que el criterio considera defectuoso. Estos ejemplos de resultado son lecturas de la regla, no nuevas inspecciones.

Las filas expresan una pregunta diferente: antes de observar x, ¿qué probabilidad habría de que el plan aceptara si el lote tuviera exactamente el estado supuesto? Con D=6, esa probabilidad sube de 0,81738 a 0,99509 al pasar de c=2 a c=4. Con D=18, sube de 0,10485 a 0,47491. El aumento de c ensancha la zona de aceptación tanto si el supuesto de lote tiene menos defectuosas como si tiene más.

Por eso no es correcto presentar un c más alto como una mejora universal: suaviza el rechazo bajo ambos estados, y también permite aceptar con más frecuencia el estado de 18 defectuosas.

Qué significan esos riesgos para las partes

NIST denomina riesgo del productor a la probabilidad de rechazar un lote situado en un punto de calidad de referencia que el productor espera que sea aceptable; denomina riesgo del consumidor a la probabilidad de aceptar un lote situado en un punto que el consumidor considera inaceptable. En diseños formales, esos puntos se representan mediante AQL y LTPD.

NIST define el uso de esos puntos y riesgos para estudiar planes; no fija para este ejemplo qué fracción deben aceptar las partes ni qué valor de riesgo deben admitir. NIST/SEMATECH, §6.2.2.

En la tabla, si las partes acordasen que el estado D=6 representa un punto que quieren aceptar con frecuencia, la probabilidad complementaria 1−Pa sería la probabilidad de rechazo bajo ese supuesto: con c=2 es 0,18262; con c=3, 0,04065; con c=4, 0,00491. Si el estado D=18 fuese un punto que quieren rechazar con frecuencia, Pa sería la probabilidad de aceptación de ese estado: 0,10485, 0,26091 y 0,47491, respectivamente.

Son ejemplos de cómo leer las dos direcciones del riesgo, no valores contractuales ni objetivos recomendados.

Ningún dato estadístico de la muestra decide por sí solo cuáles son los puntos de calidad relevantes para una compra. El criterio de defecto, la calidad que las partes consideran suficiente o inaceptable y las consecuencias de aceptar o rechazar pertenecen a los requisitos del producto y al acuerdo que rija la entrega.

Si esos puntos no se han acordado, la tabla permite comparar el efecto matemático de c, pero no escoger un valor apropiado para la relación entre comprador y proveedor. Tampoco c/n equivale a un AQL: es solo la proporción aritmética del máximo conteo admitido en esa muestra.

La diferencia entre columnas se puede leer en puntos porcentuales. Pasar de c=2 a c=3 reduce la probabilidad de rechazo en el supuesto D=6 de 18,26 % a 4,06 %, mientras que eleva la aceptación en el supuesto D=18 de 10,49 % a 26,09 %.

Al pasar de c=3 a c=4, el primer cambio es menor: el rechazo de D=6 baja de 4,06 % a 0,49 %; el segundo es mayor: la aceptación de D=18 sube de 26,09 % a 47,49 %. Son diferencias derivadas de la misma tabla, no medidas de coste ni un criterio para escoger. Para comparar consecuencias económicas o contractuales harían falta datos que este modelo no contiene.

Esto aclara por qué se habla de dos riesgos en lugar de un “porcentaje de acierto” único. Cuando el supuesto de calidad es el que las partes consideran aceptable, el error de interés es rechazar; cuando se toma como referencia un estado considerado inaceptable, el error de interés es aceptar. Ambos dependen del plan y del punto de calidad usado para calcularlos.

La decisión sobre la muestra real sigue dependiendo del valor observado x; los riesgos caracterizan probabilidades bajo supuestos previos.

De la decisión estadística a la disposición

Un plan simple termina la lectura estadística con aceptar o rechazar según x y c. No determina automáticamente qué acción material sigue. NIST describe una modalidad de inspección rectificadora en la que los lotes rechazados se inspeccionan al cien por cien y se retiran defectuosas; según factibilidad, el material puede repararse, devolverse o sustituirse. NIST presenta un programa concreto, no una obligación para cualquier inspección de recepción. NIST/SEMATECH, §6.2.4.3.

En una entrega real, una conclusión “rechazado por el plan” y la disposición registrada deben poder leerse como dos hechos relacionados, pero distintos: primero, el resultado del plan; después, la actuación autorizada por las reglas aplicables. La curva OC no decide esa actuación, y la probabilidad de aceptación no sustituye el conteo observado. La explicación estadística tampoco determina si procede bloquear, devolver, reparar o liberar material.

Un registro mínimo que permita reconstruir la decisión relaciona el identificador del lote con el plan aplicable y su versión, la característica y criterio de defecto, el método de selección, el número de unidades seleccionadas n, el conteo observado x, el límite c y el resultado calculado. Si existe una acción posterior, se consigna separada de la conclusión estadística. Es una pauta editorial de lectura, no un formato prescrito por NIST.

Por ejemplo, el resumen “muestra de 52, aceptado” no permite reconstruir la regla si no incluye c, el lote y el criterio usado para clasificar defectuosas. Tampoco dice si las unidades procedían de la muestra prevista o si se eligieron por conveniencia. Si una ficha solo dice “seis defectuosas”, falta saber si seis es el supuesto D usado en un análisis de probabilidad o el resultado observado x de una muestra.

Esas cantidades tienen papeles diferentes: D describe el lote supuesto antes de calcular; x se conoce tras inspeccionar las unidades seleccionadas.

Si el plan se aplicó a la muestra y el resultado es x ≤ c, se registra aceptación conforme al plan; no que todas las unidades del lote hayan sido inspeccionadas o que se haya probado que ninguna es defectuosa. Si x > c, se registra rechazo conforme al plan, y la disposición posterior se determina por el marco que sí aplique a ese producto.

Esta diferencia entre dato, decisión y acción evita atribuir a una muestra más de lo que realmente observó.

Preguntas frecuentes

¿Qué significa n en un plan de aceptación?

n es el número de unidades que se inspecciona de un lote. En el ejemplo finito, M=200 es el tamaño supuesto del lote y n=52 el tamaño de muestra.

¿Qué significa c?

c es el máximo conteo de unidades defectuosas en la muestra que permite aceptar el lote. El resultado observado x se compara con ese límite.

¿Aceptar el lote significa que todas sus unidades cumplen?

No. Se decide sobre el lote mediante una muestra y un plan; no se inspecciona cada unidad ni se demuestra que el lote no contiene defectuosas.

¿La probabilidad de aceptación es el resultado de la muestra?

No. Pa es una probabilidad calculada antes de observar la muestra para supuestos concretos. El resultado observado es x, que se compara con c.

¿Esta página recomienda un valor de n o c?

No. La tabla compara valores hipotéticos para explicar qué efecto tienen. El plan aplicable y los criterios de calidad deben proceder de la documentación que rige el producto y el lote.