Fórmula y notación del modelo Wilson
En el modelo EOQ determinista, el tamaño de lote que equilibra los costes de pedir y mantener inventario se expresa como Q* = √(2DS/H). Aquí D es la demanda durante un periodo, S el coste fijo de cada pedido y H el coste de mantener una unidad durante ese mismo periodo.
MIT presenta la formulación con A, D, r, v y Q; esta página usa S para el coste por pedido y H para el coste de posesión por unidad y periodo. (MIT OCW, Lecture 7, p. 14, pp. 18–20).
El asterisco de Q* identifica la cantidad que minimiza la función EOQ, no una cifra observada ni una política completa de inventario. La respuesta matemática es cuántas unidades contiene cada lote en las condiciones fijadas. Por sí sola no dice cuándo lanzar el pedido: esa fecha depende de la regla de reposición, del consumo y del plazo de suministro. Conviene mantener separados ambos campos cuando se explica un cálculo o se lee una pantalla que los muestre juntos.
D: demanda dentro de un horizonte explícito
D debe representar demanda sobre una base temporal identificable: por ejemplo, unidades al año o unidades al mes. La palabra “demanda” puede referirse a ventas, consumo, necesidades planificadas o una previsión; la fórmula no decide cuál serie describe el artículo. La fuente y el intervalo son parte de la definición del dato. Si se cambia de serie o de periodo, también cambia el significado de la entrada aunque la letra siga siendo D.
La compatibilidad temporal importa porque H es un coste por unidad y por periodo. Si D es anual, H debe ser anual; si se quiere trabajar por mes, ambas magnitudes deben convertirse a una base mensual con la misma convención. Dividir una tasa anual entre doce puede ser una conversión válida para una ilustración mensual, pero presupone que se distribuye así el coste durante el año. Es mejor declarar esa simplificación que ocultarla detrás de la calculadora.
Un total anual también comprime el calendario. Dos referencias pueden sumar 12.000 unidades en un año y tener perfiles muy distintos: una salida uniforme y otra concentrada en una campaña. La demanda determinista y uniforme de la formulación docente no se demuestra por tener un promedio anual. El agregado sirve para introducir el modelo; la serie temporal permite comprobar si esa abstracción representa razonablemente el caso que se quiere estudiar. (MIT OCW, Lecture 7, pp. 14–15).
En un ejemplo inventado, D = 12.000 unidades/año fija una base sencilla. No equivale a un pronóstico verificado. Para trasladarlo a un análisis real, habría que indicar si incluye todas las salidas del artículo, qué ventana se observó y si el periodo contiene cambios importantes. Más decimales en Q* no corrigen una demanda mal definida.
S: coste que se incurre por pedido
S representa el componente fijo asociado a cada orden dentro de la función, no el precio unitario ni el valor total de la compra. Si se supone que tramitar cada pedido cuesta 50 euros, S se expresa como 50 €/pedido. Es un supuesto de ejemplo hasta que se identifique el coste y la regla usada para estimarlo.
Esta distinción determina qué gastos caben en S. Un cargo que aparece una vez por orden puede tratarse como coste fijo por pedido en una simplificación. Un cargo que aumenta con cada unidad no tiene esa misma estructura: multiplicarlo por Q y sumarlo como si fuera un importe fijo por orden altera la función.
Si una partida tiene parte fija y parte variable, el modelo básico no indica cómo repartirla; el analista debe definir la separación o reconocer que esa representación no basta.
También importa qué queda fuera. Las tareas administrativas o logísticas pueden incluirse si el cálculo las define como parte del coste por pedido, pero la fórmula no ofrece un catálogo universal de partidas. El valor es interpretable solo junto a su alcance. Dos cálculos con el mismo número para S pueden representar costes distintos si uno incluye recepción y el otro solo emisión de la orden. (MIT OCW, Lecture 7, p. 14, pp. 18–20).
H: coste de posesión por unidad y periodo
H mide el coste de mantener una unidad durante el periodo elegido. Si se usa moneda, unidades/año para D y euros/(unidad·año) para H, entonces S se mide en euros/pedido. Antes de sustituir un valor, hay que aclarar si la tasa es mensual o anual y qué valor unitario utiliza. (MIT OCW, Lecture 7, p. 14).
En la notación de MIT, r es la tasa de posesión y v el valor unitario; el producto r·v permite expresar el coste de posesión por unidad y periodo. Si r es anual y v está en euros por unidad, H queda en euros por unidad y año. (MIT OCW, Lecture 7, p. 14).
No se debe introducir directamente el precio de compra como H sin convertirlo en coste de posesión por unidad y periodo. El precio tiene unidades de moneda por unidad; H incorpora además una tasa temporal. Una cifra puede parecer razonable y aun así estar dimensionalmente mal definida. En un caso real se debe registrar la base de valoración y la tasa aplicada, no solo el resultado de su multiplicación.
Cambiar de base temporal sin cambiar la pregunta
Un cambio de año a mes no debería mover el lote solo por haber cambiado el calendario de la cuenta. Si una demanda de 6.000 unidades/año se expresa como 500 unidades/mes y H = 4 €/unidad·año se convierte a H = 4/12 €/unidad·mes, el cociente D/H sigue siendo el mismo. Con S = 80 €/pedido sin cambio, la expresión entrega el mismo Q*.
Es una equivalencia aritmética bajo una tasa repartida de manera uniforme; no convierte un patrón estacional en demanda mensual uniforme.
Por ejemplo, el escenario anual D = 6.000, S = 80 y H = 4 da Q* = √(240.000), aproximadamente 490 unidades. En base mensual, D = 500, S = 80 y H = 1/3 vuelve a dar √(240.000). El mismo resultado no autoriza a escoger cualquiera de las dos bases sin revisar la fuente del coste: si H ya estaba mensual y se trata como anual, el resultado cambia por un factor de escala.
La comprobación útil consiste en anotar junto a cada entrada la unidad física, la moneda, el periodo y la regla de conversión. (MIT OCW, Lecture 7, p. 14, pp. 18–20).
Esta conversión tampoco recupera la distribución dentro del año. Si las ventas se concentran en ciertos meses, dividir el total anual por doce borra esos picos y valles. El modelo determinista puede seguir sirviendo como referencia con una tasa media declarada, pero entonces el resultado describe esa simplificación. No demuestra por sí solo que un único lote represente bien cada fase de la campaña.
Comprobación dimensional y ejemplo de lectura
La dimensión de la fórmula ayuda a detectar errores antes de interpretar su resultado. Con D en unidades/año, S en euros/pedido y H en euros/(unidad·año), el numerador 2DS tiene unidades de euro·unidad/(pedido·año), y el denominador tiene euro/(unidad·año). En la simplificación del modelo, un pedido cubre Q unidades, de modo que la cantidad resultante se expresa en unidades.
La comprobación práctica es confirmar que el término de pedido se cuenta por orden y que el de posesión por unidad y periodo; no basta con que la calculadora devuelva un número.
Si H aumentase y D y S permanecieran iguales, Q* bajaría: la función penalizaría más el inventario medio y el punto de equilibrio se movería hacia lotes menores. Si aumentase S, el movimiento sería hacia lotes mayores porque emitir órdenes sería más costoso. Son direcciones del modelo manteniendo las otras entradas constantes, no predicciones de ahorro o servicio para un almacén.
Qué costes quedan fuera del óptimo
La función relevante se puede escribir C(Q) = SD/Q + HQ/2. Con una demanda de D unidades por periodo y lotes de Q, el modelo supone D/Q pedidos en ese periodo; multiplicar por S da el coste de pedido SD/Q. En el ciclo ideal de la fuente el inventario cae linealmente desde Q hasta cero, por lo que su promedio es Q/2; multiplicarlo por H da HQ/2. El primer término baja cuando se aumenta Q, el segundo sube.
El mínimo de la suma fija el equilibrio. La raíz cuadrada resume el balance entre esos dos costes; sin definir la función, las tres entradas no bastan. En el ejemplo anual anterior, con Q* ≈ 490, ambos términos rondan 980 €/año. Es una comprobación derivada del modelo, no una igualdad para cualquier cantidad. ([UT Austin ORMM, líneas 162–179; MIT OCW, Lecture 7, pp. 17–20]).
La Lecture 7 obtiene el tamaño óptimo al minimizar los costes relevantes de pedido y mantenimiento; en ese cálculo deja fuera el ingreso y el coste unitario. (MIT OCW, Lecture 7, pp. 17–20; UT Austin ORMM, sección “Optimum Policy”, líneas 302–305).
Hay una razón matemática concreta para ello en el caso sencillo: si la demanda total D está fijada y cada unidad tiene el mismo precio c, el gasto de compra cD no cambia al variar el tamaño del lote. Añadir una constante a la función de coste puede cambiar el coste total informado, pero no el Q que minimiza esa función. Esto no permite omitir cualquier coste relacionado con compra.
Si el precio unitario depende del tamaño de pedido, cD deja de ser constante frente a Q; el problema tiene otra estructura y la fórmula básica no incorpora por sí misma esos tramos.
La diferencia puede cambiar la lectura de una hoja de cálculo. Un total de compras puede dominar el coste anual y aun así no formar parte de la comparación que produjo Q*; a la inversa, un descuento condicionado al lote puede hacer que comparar solo pedido y posesión no responda a la pregunta económica completa. El dato decisivo es si el componente permanece constante cuando cambia Q, no si la factura es grande o pequeña.
Esta es una explicación algebraica del alcance de la función, no una regla para aceptar una oferta o escoger proveedor.
El plazo de suministro y el ciclo de consumo
El lote Q y el plazo L describen magnitudes distintas. En el modelo determinista de UT Austin, la demanda retira unidades a una tasa continua, el lote entra de una vez y el plazo es cero o constante. La página distingue el tamaño de lote de la colocación de reposiciones cuando el plazo excede el ciclo; en ese caso puede haber más de una orden pendiente. ([UT Austin ORMM, “Deterministic EOQ model”, líneas 127–142, 162–179 y 263–282]).
El ciclo asociado a una cantidad Q y una tasa D es Q/D, siempre con unidades temporales compatibles. Por ejemplo, si un escenario hipotético tiene D = 1.200 unidades/año y Q = 300 unidades, el ciclo sería de tres meses bajo la demanda uniforme declarada. Un plazo fijo de ocho meses supera ese ciclo.
La cantidad de lote no cambia por esa comparación, pero la vista de una sola orden “en camino” ya no representa el calendario: podrían existir pedidos colocados en ciclos distintos que aún no han llegado.
Esta observación no equivale a una fórmula de punto de pedido ni define cómo registrar pedidos abiertos. Sirve para leer el alcance de una representación: Q* contesta el tamaño de lote del EOQ; el plazo permite valorar cuándo se coloca una orden y cuántas pueden coincidir en tránsito bajo determinadas hipótesis. UT Austin indica que el cálculo de medidas adicionales es más complejo cuando el plazo supera el tiempo de ciclo, sin reducirlo a una simple sustitución en Q*.
Si el material de una empresa muestra solo el lote, no se puede deducir de ese dato el estado de su pipeline.
Supuestos que sostienen la fórmula
MIT presenta la forma básica con demanda determinista y uniforme, reposición de la cantidad completa y sin faltantes en el modelo representado. UT Austin describe el caso determinista como una tasa de retirada continua y un lote de tamaño fijo; admite un plazo cero o constante en esa página. ([MIT OCW, Lecture 7, p. 15; UT Austin ORMM, líneas 127–179]). La gráfica idealiza el inventario: sube cuando llega el lote y luego desciende a ritmo constante.
La utilidad del supuesto es aislar la relación entre el coste por pedido y el coste de mantener inventario. No prueba que el consumo real sea liso ni que cada entrega entre de una vez. Si el artículo tiene demanda irregular, faltantes permitidos, descuentos por cantidad o restricciones de capacidad, esas condiciones no están incorporadas automáticamente en la raíz cuadrada.
Hay que identificar qué cambia respecto del modelo antes de interpretar el número; no se debe presentar un cálculo determinista como validación de una política con condiciones distintas.
La expresión de MIT suele escribirse como Q* = √(2AD/(r·v)). Al sustituir S = A y H = r·v, se obtiene la forma de esta página. El paralelismo solo es válido si A significa el coste por pedido, D mantiene la misma base temporal y el producto r·v es el coste de posesión por unidad y periodo. ([MIT OCW, Lecture 7, p. 14 y pp. 18–20]).
Lectura final: fórmula, cálculo y decisión
La fórmula define una relación entre entradas; un cálculo añade datos con unidades; una decisión de inventario considera además las condiciones que la expresión no contiene. Para interpretar un Q* publicado, las preguntas útiles son qué serie se tomó como D, qué actividades forman S, cómo se obtuvo H y en qué periodo se expresaron. Q* solo da el lote; para saber cuándo reponer hacen falta una política y un plazo. ([UT Austin ORMM, líneas 263–282]).
La página explica la notación de EOQ y sus condiciones docentes. No establece un lote para una referencia concreta, no resuelve restricciones comerciales o físicas y no configura un sistema empresarial. Si una organización utiliza la cifra, debe poder enlazarla con las entradas y con la versión del modelo que realmente aplicó.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa cada letra de la fórmula Wilson?
D es demanda por periodo, S coste fijo por pedido y H coste de posesión por unidad y periodo. Q* es el tamaño de lote que minimiza los costes incluidos en el modelo EOQ determinista.
¿Qué unidades debe tener H?
Si D está en unidades/año, H debe expresarse en moneda/(unidad·año) y S en moneda/pedido. La base temporal de D y H debe coincidir.
¿Cómo se relaciona H con r y v?
En la notación MIT, la tasa de posesión r por el valor unitario v representa el coste de posesión por unidad y periodo, H = r·v, si se conservan sus definiciones y periodos.
¿La fórmula sirve si la demanda es variable?
La forma básica que se explica aquí usa demanda determinista y uniforme. Un promedio por sí solo no demuestra que esa condición describa una serie variable.
¿Q* indica cuándo hacer el pedido?
No. Q* representa el tamaño del lote. El momento de colocar una orden depende de una regla de reposición y del plazo, que el lote óptimo no determina por sí solo.